MATEMATICAS I: BLOQUE 3. Sucesiones

Una sucesión es una función cuyo dominio es el conjunto de los números naturales: {1, 2, 3, …}. Una sucesión aritmética es aquélla en la cual la diferencia entre dos términos consecutivos es una constante. La fórmula para el término general de una sucesión aritmética es an + b, en donde a y b son constantes, y n es el número del término deseado. Específicamente, la constante a es la diferencia entre un término y el anterior.
Si sumamos n términos de la sucesión con término general an + b obtendremos el valor:

EJEMPLO A:

Notemos la sucesión: 8, 11, 14, 17, 20, 23, 26,…
La diferencia entre cualquier término y el anterior es  3, de modo que el término general sería 3n + b.
Para encontrar el valor de b podemos utilizar el primer término, en donde n = 1.
De esta forma, 3(1) + b = 8, y por lo tanto b = 5.
Por lo tanto, el término general de la sucesión es: 3n + 5.
Si queremos encontrar el término 25 de la sucesión, sustituimos 25 en la anterior fórmula:
3(25) + 5 = 80. De modo que el término 25 de la sucesión tiene el valor de 80.
Si queremos encontrar la suma de los primeros 12 términos de esta sucesión, utilizamos la fórmula (1) arriba, con a = 3, b = 5 y n = 12:

EJEMPLO B:

Notemos la sucesión: –13, –19, –25, –31, –43, –49, –55,…
La diferencia entre cada término y el anterior es -6, de modo que el término general sería –6n + b.
Para encontrar el valor de b podemos utilizar el primer término, en donde n = 1.
De esta forma, –6(1) + b = –13, y por lo tanto b = –7.
Por lo tanto, el término general de la sucesión es: –6n – 7.
Si queremos encontrar el término 16 de la sucesión, sustituimos 16 en la anterior fórmula:
–6(16) – 7 = –103. De modo que el término 16 de la sucesión tiene el valor de –103.
Si queremos encontrar la suma de los primeros 30 términos de esta sucesión, utilizamos la fórmula (1) arriba, con a = –6, b = –7 y n = 30:

EJERCICIOS: Sea la sucesión aritmética: –7, –1, 5, 11, 17, 23, 29, … 1) Encontrar el término 24. 2) Encontrar la suma de los primeros 32 términos. Sea la sucesión aritmética: –3.5, –7.5, –11.5, –15.5, –19.5, –23.5, –27.5, … 3) Encontrar el término 33 4) Encontrar la suma de los primeros 32 términos.

Una sucesión geométrica está constituida por una secuencia de elementos en la que cada uno de ellos se obtiene multiplicando el anterior por una constante denominada razón o factor de la progresión. Se suele reservar el término progresión cuando la secuencia tiene una cantidad finita de términos mientras que se usa sucesión cuando hay una cantidad infinita de términos, si bien, esta distinsión no es estricta.
Así, es una progresión geométrica con razón igual a 3, porque:

15 = 5 × 3

45 = 15 × 3

135 = 45 × 3

405 = 135 × 3

y así sucesivamente.
Aunque es más fácil aplicando la fórmula:

Siendo el término en cuestión, el primer término y la razón:

Así quedaría si queremos saber el 6º término de nuestra progresión

Ejemplos de progresiones geométricas

• La progresión 1, 2 ,4 ,8 ,16, es una progresión geométrica cuya razón vale 2, al igual que 5, 10, 20, 40.
• La razón no necesariamente tiene que ser un número entero. Así, 12, 3, 0.75, 0.1875 es una progresión geométrica con razón 1/4.
• La razón tampoco tiene por qué ser positiva. De este modo la progresión 3, -6, 12, -24 tiene razón -2. Este tipo de progresiones es un ejemplo de progresión alternante porque los signos alternan entre positivo y negativo.
• Cuando la razón es igual a 1 se obtiene una progresión constante: 7, 7, 7, 7
• Un caso especial es cuando la razón es igual a cero, por ejemplo: 4, 0, 0, 0. Existen ciertas referencias que no consideran este caso como progresión y piden explícitamente que en la definición.

Suma de términos de una progresión geométrica
Suma de los primeros n términos de una progresión geométrica
Se denomina como S_n a la suma de n términos consecutivos de una progresión geométrica:

S_n = a₁ + a₂ + ... + a_n-1 + a_n

Si se quiere obtener una fórmula para calcular de una manera rápida dicha suma, se multiplica ambos miembros de la igualdad por la razón de la progresión r.

Si se tiene en cuenta que al multiplicar un término de una progresión geométrica por la razón se obtiene el término siguiente de esa progresión,

S_n r = a₂ + a₃ + ... + a_n + a_n r

Si se procede a restar de esta igualdad la primera:

S_n r =a₂+a₃+ ... + a_n-1 + a_n + a_n r

S_n = a₁ + a₂ + ... + a_n-1 + a_n

_______________________________

S_n r - S_n = - a₁ + a_n r

o lo que es lo mismo,

S_n ( r - 1 ) = a_n r - a₁

Si se despeja S_n,

De esta manera se obtiene la suma de los n términos de una progresión geométrica cuando se conoce el primer y el último término de la misma. Si se quiere simplificar la fórmula, se puede expresar el término general de la progresión a_n como

a_n = a₁ r^n-1

Así, al sustituirlo en la fórmula anterior se tiene lo siguiente:

S_nr = ( a₁ + a₂ + … +a_{n – 1} + a_n) r      S_nr = a₁r + a₂r + … +a_{n – 1}r + a_nr

con lo que se obtiene la siguiente igualdad:

Con esta fórmula se puede obtener la suma de n términos consecutivos de una progresión geométrica con sólo saber el primer término a sumar y la razón de la progresión.
Si queremos calcular el resultado de una suma de n términos consecutivos, pero sin que empiece en cero, debemos utilizar la expresión:

Suma de términos infinitos de una progresión geométrica
Si el valor absoluto de la razón es menor que la unidad | r | < 1, la suma de los infinitos términos decrecientes de la progresión geométrica converge hacia un valor finito. En efecto, si | r | < 1, tiende hacia 0, de modo que:

En definitiva, la suma de los infinitos términos de una progresión geométrica de razón inferior a la unidad se obtiene utilizando la siguiente fórmula: